Question

12．若关于x，y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=1+a}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$的解满足x+y＜2．
（1）求a的取值范围； 
（2）若a=1，方程组的解是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）方程组中的两个方程相加即可求出x+y的值，即可得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）把a=1代入求出方程组的解，看看是否符合三角形三边关系定理，把符合的求出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=1+a①}\\{x+3y=3②}\end{array}\right.$
①+②得：4x+4y=4+a，
x+y=1+$\frac{1}{4}$a，
∵关于x，y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=1+a}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$的解满足x+y＜2，
∴1+$\frac{1}{4}$a＜2，
解得：a＜4，
即a的取值范围是a＜4；

（2）把a=1代入方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=2②}\\{x+3y=3②}\end{array}\right.$
①-②×3得：-8y=-7，
y=$\frac{7}{8}$，
①×3-②得：8x=3，
解得：x=$\frac{3}{8}$，
∵$\frac{3}{8}$+$\frac{3}{8}$＜$\frac{7}{8}$，
∴等腰三角形的三边只能是$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$，
∴此等腰三角形的周长$\frac{3}{8}$+$\frac{7}{8}$+$\frac{7}{8}$=$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，难度适中．