Question

1．如图，在平面直角坐标系中，过原点的抛物线的顶点M的坐标为（-1，-1），点A的坐标为（1，1），以OA为边的菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，把菱形OABC沿AB向上翻折得到菱形ABDE．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把抛物线向右平移使抛物线经过点D，求平移的距离．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为顶点式y=a（x+1）²-1（a≠0）．然后把原点的坐标代入即可求得系数a的值；
（2）如图所示，过点A作AP⊥x轴于点P．根据坐标与图形的性质、菱形的性质以及勾股定理易得点D的坐标是（$\sqrt{2}$，2），把y=2代入函数解析式y=（x+1）²-1即可求得相应的x的值，所以结合点D的坐标即可得到平移的距离．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）²-1（a≠0）．
把（0，0）代入，得
0=a（0+1）²-1，
解得a=1．
所以该抛物线的解析式为：y=（x+1）²-1；

（2）如图所示，过点A作AP⊥x轴于点P．
∵点A的坐标为（1，1），
∴OP=AP=1．
在直角△OAP中，由勾股定理得到：OA=$\sqrt{2}$．
∵四边形OABC为菱形，AB∥x轴．
∴OC=OA=$\sqrt{2}$．
∵把菱形OABC沿AB向上翻折得到菱形ABDE，
∴DE=OC=$\sqrt{2}$，DE∥x轴．
∴点D的坐标是（$\sqrt{2}$，2），
由题意得：（x+1）²-1=2，
解得x₁=$\sqrt{3}$-1，x₂=-$\sqrt{3}$-1，
∴平移距离为：$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，勾股定理以及二次函数图象的几何变换．解答（1）题时，要熟悉二次函数解析式的三种形式，并结合题中已知条件来设抛物线的解析式；解答（2）题时，要注意确定平移的距离为两种情况：抛物线对称轴的左侧经过点D、抛物线对称轴的右侧经过点D．