Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M。

（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明。
（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积。

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC △AEB是由△ADB折叠所得 ∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD ∴AE=AF 又∵∠1+∠2=45°， ∴∠3+∠4=45° ∴∠EAF=90° ∴四边形AEMF是正方形。 （2）设正方形AEMF的边长为x 根据题意知：BE=BD，CF=CD ∴BM=x-1；CM=x-2 在Rt△BMC中，由勾股定理得： ∴ 解得：，（舍去） ∴。