Question

15．已知a=4，b，c是方程x²-5x+6=0的两个根，则以a、b、c为三边的三角形面积是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程得到b、c的值为2、3，如图，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=4-x，利用勾股定理得到2²-x²=3²-（4-x）²，解得x=$\frac{11}{8}$，则可计算出AD的长，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：x²-5x+6=0，
（x-2）（x-3）=0，
x-2=0或x-3=0，
所以x₁=2，x₂=3，
如图，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=4-x，
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=2²-x²，
在Rt△ACD中，AD²=AC²-CD²=3²-（4-x）²，
2²-x²=3²-（4-x）²，解得x=$\frac{11}{8}$，
所以AD=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{11}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{8}$，
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3\sqrt{15}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形面积公式．