Question

11．如图，抛物线y=-（x-h）（x-h+2）（h为常数）交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，顶点为M，
（1）当h=1时，求AB的长；
（2）当h=2时，抛物线上有两点（x₁，y₁）（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥1，比较y₁与y₂的大小；
（3）设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值；
（4）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）经过抛物线的顶点M，求h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当h=1时，抛物线为y=-（x-1）（x+1），解方程即可得到结论；
（2）当h=1时，抛物线为y=-x（x-2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结果；
（4）把抛物线y=-（x-h）（x-h+2）的定点坐标M（h-1，1），代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）即可得到结论．

解答 解：（1）当h=1时，抛物线为y=-（x-1）（x+1），
令y=0，即-（x-1）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=1，
∴A（-1，0），B（1，0），
∴AB的长为2；
（2）当h=1时，抛物线为y=-x（x-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x≥1时，y随想的增大而减小，
∴当x₁＞x₂≥1时，y₁＜y₂；
（3）当x=0时，y=-h²+2h，
∴y_c的最大值=$\frac{-{2}^{2}}{4×（-1）}$=1；
（4）抛物线y=-（x-h）（x-h+2）的顶点坐标为：M（h-1，1），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）经过抛物线的顶点M，
∴k=h-1，
∴0＜h-1≤2，
∴1＜h≤3，
即h的取值范围为1＜h≤3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．