Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积．

Answer 1

分析：（1）可过点C延长DC交BE于M，可得C，F分别为DM，DE的中点；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；
（3）求四边形ABED的面积，可分解为求梯形ABMD与三角形DME的面积，然后求两面积之和即可．

解答：（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
∴CF为△DME的中位线，
∴DF=FE；

（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中，AC=AD•sin∠ADC=

3

2

a，
∴BE=

3

a．

（3）解：可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和△DME，
在Rt△ADC中：DC=

AD2-AC2

=

a

2

，
∵CF是△DME的中位线，
∴CM=DC=

a

2

，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴AB=MC=

a

2

，BM=AC=

3

2

a，
∴梯形ABMD面积为：(

a

2

+a)×

3 a

2

×

1

2

=

3 3

8

a2；
由AC⊥DC和BE∥AC可证得△DME是直角三角形，
其面积为：

1

2

×

3 a

2

×a=

3 a2

4

，
∴四边形ABED的面积为

3 3

8

a2+

3 a2

4

=

5 3 a2

8

．

点评：本题结合三角形的有关知识综合考查了平行四边形的性质，解题的关键是理解中位线的定义，会用勾股定理求解直角三角形，会计算一些简单的四边形的面积．