题目内容
【题目】解答下列问题：
（1）阅读理解：
如图1，在
中，若
，
，求
边上的中线
的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长到点
使
，再连接
（或将
绕着
逆时针旋转
得到
，把
、
，
集中在
中，利用三角形三边的关系即可判断.中线的取值范围是______.
（2）问题解决：
如图2，在中，是边上的中点，
于点，
交于点，
交于点
，连接
，求证：
.
（3）问题拓展：
如图3，在四边形
中，
，
，
，以
为顶点作一个
角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）2<AD<8；（2）证明见解析；（3）EF=BE+DF，证明见解析.
【解析】
（1）利用SAS可证明△ADC≌△EDB，可得BE=AC=6，根据三角形三边关系即可得答案；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）可得CF=BM，根据垂直平分线性质可得EF=EM，利用三角形三边关系即可得答案；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得∠NBC=∠D，利用SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，利用角的和差关系可得∠ECN=70°=∠ECF，利用SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
（1）∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=DE，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即10-6<2AD<10+6，
∴2<AD<8，
故答案为：2<AD<8
（2）如图，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，
同（1）得CF=BM，
∵FD=MD，DE⊥DF，
∴EF=EM，
在△BEM中，BE+BM>EM，
∴BE+CF>EF.
（3）EF=BE+DF，证明如下：
如图，延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠NBC=180°，
∴∠D=∠NBC，
在△NBC和△FDC中，
，
∴△NBC≌△FDC，
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠ECF=70°，∠BCD=140°，
∴∠FCD+∠ECB=70°，
∴∠NCB+∠ECB=70°，即∠ECN=70°=∠ECF，
在△FCE和△NCE中，
，
∴△NCE≌△FCE，
∴EF=EN=BE+BN=BE+DF.
