Question

已知二次函数y=-

1

4

x²+

3

2

x+4的图象与y轴交于点A，交x轴于点B、C（点B在点C的右边），连接AC、AB．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点A作直线a交线段BC于点D，点B、C到直线a的距离分别为d₁、d₂，求d₁+d₂的最大值和最小值（当点D与点B重合时，我们认为S_△ABC=0）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求出点A的坐标，令y=0，解方程求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD于F，根据垂线段最短可得CE＜CD，BF＜BD，从而得到CE+BF＜CD+BD，然后判断出D与O重合时，CE+BF=CD+BD最大，根据△ABC的面积判断出D、B重合时，CE+BF等于AB边上的高时最小．

解答：解：（1）令x=0则y=4，
令y=0则-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，
整理得，x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
所以，A（0，4），B（-2，0），C（8，0），
所以，OA=4，BC=8-（-2）=10，
△ABC的面积=

1

2

×10×4=20；

（2）如图，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD于F，
由垂线段最短得，CE＜CD，BF＜BD，
所以，CE+BF＜CD+BD，
所以，D与O重合时，CE+BF=CD+BD最大，
d₁+d₂的最大值=BC=10；
∵S_△ABC=

1

2

CE•AD+

1

2

BF•AD=

1

2

AD•（CE+BF）=

1

2

AD•（d₁+d₂），
∵AC＜AB，
∴当点D、B重合时，d₁+d₂等于AB边上的高，最小，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

42+82

=4

5

，
此时，

1

2

×4

5

（d₁+d₂）=20，
解得d₁+d₂=2

5

，
综上所述，d₁+d₂的最大值是10，最小值是2

5

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解方法，垂线段最短的性质，三角形的面积，难点在于（2）确定出d₁+d₂的最大值和最小值时的情况．