Question

17．如图，铁路上A、B两站相距25km，C，D为两村庄，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD=15km，CB=10km，在AB上是否存在一点E，使它到C、D两村庄的距离相等？若存在，求出此时AE的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE²=AD²+AE²，CE²=BE²+BC²，AD²+AE²=BE²+BC²，设AE为x，则BE=25-x，将BC=10代入关系式即可求得．

解答 解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE²=AD²+AE²，CE²=BE²+BC²，
∴AD²+AE²=BE²+BC²．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x²+15²=（25-x）²+10²，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．

点评 本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可，解题的关键是根据不同的两个直角三角形有相等的斜边列出等式求解．