Question

15．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　）

• A． CD+DF=4
• B． CD-DF=2$\sqrt{3}$-3
• C． BC+AB=2$\sqrt{3}$+4
• D． BC-AB=2

Answer 1

分析 设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），所以c=a+b-2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得${a}_{1}=1+\sqrt{3}，{a}_{2}=1-\sqrt{3}$（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2$\sqrt{3}$+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=$3+\sqrt{3}-1-x$，OF=x，ON=$1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$，由勾股定理可得$（2+\sqrt{3}-x）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={x}^{2}$，解得x=4$-\sqrt{3}$，从而得到CD-DF=$\sqrt{3}+1-（4-\sqrt{3}）=2\sqrt{3}-3$，CD+DF=$\sqrt{3}+1+4-\sqrt{3}=5$．即可解答．

解答 解：如图，

设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠DCG=9{0}^{°}}\\{∠MOG=∠DGC}\\{OG=DG}\end{array}\right.$
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），
∴c=a+b-2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a²+b²=（a+b-2）²，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又∵BC-AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得${a}_{1}=1+\sqrt{3}，{a}_{2}=1-\sqrt{3}$（舍去），
∴$a=1+\sqrt{3}，b=3+\sqrt{3}$，
∴BC+AB=2$\sqrt{3}$+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=$3+\sqrt{3}-1-x$，OF=x，ON=$1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$，
由勾股定理可得$（2+\sqrt{3}-x）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={x}^{2}$，
解得x=4$-\sqrt{3}$，
∴CD-DF=$\sqrt{3}+1-（4-\sqrt{3}）=2\sqrt{3}-3$，CD+DF=$\sqrt{3}+1+4-\sqrt{3}=5$．
综上只有选项A错误，
故选A．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．