Question

1．如图1，已知平面直角坐标系内的一点P（m，n），m，n满足$\sqrt{m-n}$+（m-2）²=0．
（1）求P点坐标；
（2）如图1，在直角坐标系中，∠P=45°，∠P的两边分别交坐标轴于A，B两点，求△OAB的周长；
（3）如图2，点M是y轴正半轴上一点，MH⊥OH，连接OP交MH于N点，若∠OMH=∠HON，求$\frac{MN}{OH}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质即可解决问题．
（2）如图1中，作PE∥OB于E，PF⊥AO于F，则四边形PEOF是正方形，将△PEB绕点P逆时针旋转90°得到△PFM．只要证明△APB≌△APM，推出AB=EB+AF，由此即可解决问题．
（3）如图3中，作NE⊥OM于E，HF⊥OM于F交OP于J，HG⊥x轴于G，设点H坐标（m，n）．求出EN，FG，由△MNE∽△OHG，得到$\frac{MN}{OH}$=$\frac{EN}{GH}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m-n}$+（m-2）²=0，
$\sqrt{m-n}$≥0，（m-2）²≥0，
∴m=n=2，
∴点P坐标为（2，2）．

（2）如图1中，作PE∥OB于E，PF⊥AO于F，则四边形PEOF是正方形，将△PEB绕点P逆时针旋转90°得到△PFM．

∵∠APB=45°，∠EPF=90°，
∴∠EPB+∠APF=∠APF+∠FPM=45°，
∴∠APB=∠APM，
在△APB和△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PM}\\{∠APB=∠APM}\\{PA=PA}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APM，
∴AB=AM=AF+FM=AF+EB，
∴△AOB的周长=OB+OA+AB=OB+OA+AF+EB=OE+OF=4．

（3）如图3中，作NE⊥OM于E，HF⊥OM于F交OP于J，HG⊥x轴于G，设点H坐标（m，n）．

∵∠JOF=∠FJO=45°，'
∴OF=FJ=n，OJ=$\sqrt{2}$n，
∵∠FHO+∠FHM=90°，∠FMH+∠FHM=90°，
∴∠FHO=∠FMH=∠HOJ，
∴OJ=JH=$\sqrt{2}$n，
∵FH=OG，
∴m=n+$\sqrt{2}$n，
∴n=（$\sqrt{2}$-1）n，
∵FH∥OG，
∴∠FHO=∠HOG，
∵∠HON=∠FHO，
∴∠NOH=∠HOG，
∵∠OHN=∠HGO=90°，
∴△OHN∽△OGH，
∴$\frac{ON}{OH}$=$\frac{OH}{OG}$，
∴ON=$\frac{{m}^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}{m}^{2}}{m}$=（4-2$\sqrt{2}$）m，
∵EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，
∴EN=（2$\sqrt{2}$-2）m，
∵∠HOG=∠EMN，∠OGH=∠MEN=90°，
∴△MNE∽△OHG，
∴$\frac{MN}{OH}$=$\frac{EN}{GH}$=$\frac{（2\sqrt{2}-2）m}{（\sqrt{2}-1）m}$=2．

点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．