Question

13．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象过点A（1，3）和点C，点C与点A不重合，连结OA、OC，以OA、OC为边作?ABCO．
（1）求k的值；
（2）求当?ABCO为菱形时点C的坐标；
（3）若点C的横坐标为a，记?ABCO的面积为S，求S关于a的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象过点A（1，3），直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（2）首先设点C的坐标为（x，y），然后由?ABCO为菱形，点C在反比例函数y=$\frac{3}{x}$上，可得x²+y²=1²+3²=10①，xy=3②，继而求得答案；
（3）首先连接AC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，由S_△AOC=S_梯形ADEC+S_△AOD-S_△OCE，即可求得答案．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象过点A（1，3），
∴3=$\frac{k}{1}$，
解得：k=3；

（2）设点C的坐标为（x，y），
∵?ABCO是菱形，
∴OA=OC，
∴x²+y²=1²+3²=10①，
∵点C在反比例函数y=$\frac{3}{x}$上，
∴xy=3②，
联立①②得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（3，1）；

（3）连接AC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
则AD=3，OD=1，OE=a，CE=$\frac{3}{a}$，S_△AOD=S_△OCE，
∴DE=OE-OD=a-1=2，
∴S_△AOC=S_梯形ADEC+S_△AOD-S_△OCE=S_梯形ADEC=$\frac{1}{2}$（CE+AD）•DE=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{a}$+3）×（a-1）=$\frac{3{a}^{2}-3}{2a}$，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴S=2S_△AOC=$\frac{3{a}^{2}-3}{a}$．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、平行四边形的性质以及菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．