Question

16．已知：在四边形ABCD中，∠BAC+∠BDC=180°，∠ABC=∠BAC=60°，如图1，连结BC、AD．
（1）求证：∠ADB=∠ADC．
（2）如图2，过B作BH⊥AD于H，延长BH交AC于E，连结CH并延长交B于F，若AE=BF，BD=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）首先利用∠ACB+∠ADB=180°，得出A、B、C、D四点共圆，进而得出弦AC、BC所对的圆周角相等，即∠ADC=∠BDC得出答案即可；
（2）根据∠ADB=∠ADC，于是得到∠BDC=180°-∠BAC=120°，求得∠BDH=60°，根据已知条件得到∠DBH=30°，由直角三角形的性质得到DH=$\frac{1}{2}$BD=2，推出△FBC≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠BCF=∠ABE．由于∠BHF=∠BCF+∠CBH=∠ABE+∠CBH=60°，于是得到∠CHD=30°=∠DBH推出∠DCH=90°，根据直角三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$DH=1，延长CD到G，使DG=DB=4，连接BG．于是得到△BDG为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BG=BD，根据等腰三角形的性质得到∠GBD=∠CBA=60°，证得△GBC≌△DBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠BAC=60°，
∴AC=BC，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AC=BC，
∴弦AC、BC所对的圆周角相等，
∴∠ADC=∠ADB；

（2）解：∵∠ADC=∠ADB；
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°，
∴∠BDH=60°，
∵BH⊥AD，
∴∠DBH=30°，DH=$\frac{1}{2}$BD=2，
在△FBC与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠FBC=∠BAE}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ABE，
∴∠BCF=∠ABE，
∵∠BHF=∠BCF+∠CBH=∠ABE+∠CBH=60°，
∴∠CHD=30°=∠DBH，
∵∠CDH=∠BDH=60°，
∴∠DCH=90°，CD=$\frac{1}{2}$DH=1，
延长CD到G，使DG=DB=4，连接BG．
则△BDG为等边三角形，∴BG=BD；∠GBD=∠CBA=60°，
∴∠GBC=∠DBA，
在△GBC与△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBC=∠DBA}\\{∠G=∠ADB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△GBC≌△DBA，
∴AD=CG=BD+DC=4+1=5．

点评 此题主要考查了四点共圆以及圆周角定理，利用已知得出弦AC、BC所对的圆周角相等是解题关键