Question

5．（1）如图（1），在△BAC和△DAE中，BA=AD，CA=EA，∠BAC+∠DAE=180°，求证：△BAC和△DAE的面积相等．
（2）如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，且AD，BE交于点F，求证：四边形ABDE的面积是△AFB面积的2倍．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠PAE=∠QAC，推出△APE≌△AQC，根据全等三角形的性质得到PE=CQ，即可得到结论；
（2）在AB上截取AI=AE，BG=BD，连接IF、FG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，易证△AFE≌△AFI，△BFD≌△BFG，根据三角形的内心的性质可求得∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=135°，然后求出∠AFE、∠AFI、∠IFG的度数，然后根据正弦定理求出△EFD和△IFG的面积，最后即可求出四边形ABDE的面积．

解答 证明：（1）∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠QAC=180°，
∴∠PAE=∠QAC，
在△APE与△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠Q}\\{∠PAE=∠QAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AQC，
∴PE=CQ，
∵BA=AD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•AB•CQ$，S_△ADE=$\frac{1}{2}•$AD•PE，
∴△BAC和△DAE的面积相等；

（2）解：如图（2）在AB上截取AI=AE，BG=BD，连接IF、FG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，
在△AFE和△AIF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAF=∠IAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BFD≌△BFG，
∵点F是角平分线AD、BE的交点，
∴点F是△ABC的内心，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=135°，
∴∠AFE=∠BFD=180°-∠AFB=45°，
∴∠AFI=∠AFE=∠BFD=∠BFG=45°，
∴∠IFG=135°-45°-45°=45°，
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$FD•EM=$\frac{1}{2}$EF•FDsin45°，
S_△IFG=$\frac{1}{2}$FF•GN=$\frac{1}{2}$IF•FGsin45°，
∴S_△EFD=S_△IFG，
∴S_{四边形ABDE}=S_△EFD+S_△AFE+S_△AFB+S_△BFD
=S_△IFG+S_△AIF+S_△FIG+S_△AFB
=2S_△AFB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，面积及等积变换，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用三角形的等积变换求出四边形ABDE的面积，难度较大．