Question

7．如图，抛物线y=ax²-x+4与x轴交于点A、B，B点的坐标为（-4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和对称轴．
（2）连接AC、BC，在x轴下方的抛物线上求一点M，使△ABM与△ABC的面积相等．
（3）在x轴下方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于点D、E两点（点D在对称轴的左侧）．过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为G、F，当矩形DEFG中DE=2DG时，求D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入y=ax²-x+4中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）先利用y轴上点的坐标特征写出C（0，4），再利用三角形面积公式得到点M、C点到x轴的距离相等，即点M的纵坐标为-4，然后解方程-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-4即可得到M点的坐标；
（3）如图，设D（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4）（t＜-1），利用DE=2DG和抛物线的对称性得到1-t=-（-$\frac{1}{2}$t²-t+4），然后解方程求出t即可得到D点坐标．

解答 解：（1）把B（-4，0）代入y=ax²-x+4得16a+4+4=0，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-1}{2×（-\frac{1}{2}）}$=-1；
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=4，则C（0，4），
∵△ABM与△ABC的面积相等，
∴点M的纵坐标为-4，
当y=-4时，-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-4，解得x₁=-1+$\sqrt{17}$，x₂=-1-$\sqrt{17}$，
∴M点的坐标为（-1+$\sqrt{17}$，-4）或（-1-$\sqrt{17}$，-4）；
（3）如图，设D（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4）（t＜-1）
∵DE=2DG，
∴-1-t=-（-$\frac{1}{2}$t²-t+4），
整理得t²+4t-6=0，解得t₁=-2-$\sqrt{10}$，t₂=-2+$\sqrt{10}$，
∴D（-2-$\sqrt{10}$，-1-$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．