Question

16．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质可得AB∥CF，则可求得∠BAE=∠CFE，结合题目条件可证得结论；
（2）由（1）可证得CF=DC，可得CH为△DFG的中位线，则可得CH∥AF，可证得CH⊥DG．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE=∠CFE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CFE}\\{∠AEB=∠CEF}\\{BE=CE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）解：CH⊥DG．
理由如下：
由（1）可得△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴CF=CD，
∴C为FD的中点，
∵H为DG的中点，
∴CH为△DFG的中位线，
∴CH∥AE，
∵DG⊥AE，
∴∠DHC=∠DGF=90°，
∴DG⊥AE．

点评 本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．