Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．

（1）该抛物线的解析式为　　；

（2）设点E是抛物线上位于第一象限的动点，过点E作EF⊥x轴于点F，并交直线AB于N，过点E再作EM⊥AB于点M，求△EMN周长的最大值；

（3）当△EMN的周长最大时，在直线EF上是否存在点Q，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+4；（2）最大值为；（3）存在，当点Q的坐标为（，）或（，）时，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形

【解析】

（1）设抛物线的解析式为．由线段OA、OB的长度可得出点A、B的坐标，再由旋转的特性可得出点C、D的坐标，由点B、C、D三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）在Rt△AOB中，求出∠ABO的正弦余弦值，再根据相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，从而得出∠MEN=∠FBN，用EN的长度来表示出EM和MN的长度，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，设出点E的坐标为 （0＜t＜4），即可找出点N的坐标为，从而得出线段EN的长度，将EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周长，根据二次函数的性质可求出EN的最大值，由此即可得出结论；

（3）结合（2）的结论可知直线EF的解析式为，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°两种情况来考虑，利用相似三角形的性质找出相似边的比例关系来找出线段的长度，再根据点与点间的数量关系即可找出点Q的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为．

∵OA=2，OB=4，

∴点A（0，2），点B（4，0），

由旋转的特性可知：

点C（﹣2，0），点D（0，4）．

将点B（4，0）、点C（﹣2，0）、点D（0，4）代入到抛物线解析式得：

，解得：．

∴该抛物线的解析式为．

故答案为：．

（2）依照题意画出图形，如图1所示．

在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，

∴AB=，

∴sin∠ABO=，cos∠ABO=．

∵EM⊥AB，EF⊥OB，

∴∠EMN=∠BFN=90°．

∵∠BNF=∠ENM，

∴△EMN∽△BFN，

∴∠MEN=∠FBN．

在Rt△EMN中，sin∠MEN=，cos∠MEN=，

∴MN=ENsin∠MEN=ENsin∠ABO=EN，

EM=ENcos∠MEN=ENcos∠ABO=EN．

∴C△EMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN．

由（1）知A（0，2）、B（4，0），设直线AB的解析式为：y=kx+2，

∴4k+2=0，解得：k=，

∴直线AB的解析式为：．

设抛物线上点E的坐标为（0＜t＜4），

∵EF⊥OB，

∴令y=+2中x=t，y=+2，

∴点N的坐标为（t，﹣t+2），

∴EN=﹣+t+4﹣（﹣t+2）=﹣+t+2．

∴C△EMN=（﹣+t+2）=﹣（0＜t＜4）．

∴当时，EN最大，此时C△EMN最大，

∴C△EMN最大为： [﹣+2]=．

（3）由（2）知，当C△EMN取最大值时，EF的解析式为：x=．

①若∠QDC=90°，过点Q作QG⊥y轴于点G，如图2所示．

∵EF的解析式为：x=，

∴QG=，

∵∠QDG+∠DQG=90°，∠CDO+∠QDG=90°，

∴∠DGQ=∠CDO，

又∵∠QGD=∠DOC=90°，

∴△QDG∽△DCO，

∴，

∴DG=2×．

∴OG=OD﹣DG=4﹣，

∴点Q的坐标为（，）；

②若∠DCQ=90°，如图3所示．

CF=﹣（﹣2）=，

∵∠QCF+∠OCD=90°，∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠QCF=∠CDO，

又∵∠CFQ=∠DOC=90°，

∴△COD∽△QFC，

∴，即，

∴FQ=，

∴点Q的坐标为（，）．

综上所述，当点Q的坐标为（，）或（，）时，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形．