题目内容
【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题: 如图1，在矩形
中，对角线
、
相交于点
，且
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接所
、
、
．
求证：
是等边三角形．
小明经探究发现，连接
、
(如图2)，从而可证
， 
，使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；
参考小明思考问题的方法或用其他的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，在四边形中， 
，
， 对角线、
相交于点，且
(
)，点、、分别是、、的中点，连接、、．
①否存在与相等的线段?若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．
②求
的度数．(用含
的式子表示)
【答案】（1）见解析；（2）①
，证明见解析；②
．
【解析】
（1）如图，连接
、
，由已知条件可证明
是等边三角形，进而证明
是直角三角形，根据
为AD的中点，证明
，再由三角形中位线定理，即可证明结论；
（2）①如图，，类比（1）即可证明结论；
②如图，
.根据①结论得到
，再得到
，进而证明
，
，最后求出
，问题得解．
（1）证明：如图，连接、，
∵四边形
为炬形，
∴
，
.
∵
，
∴是等边三角形.
∵点
是
的中点，
∴
.
∴是直角三角形.
∵是
的中点，
∴.
∵点、
分别是、
的中点，
∴
.
∴
，
∴
是等边三角形.
（2）①.
证明:如图，连接、，
∵
， 
，
∴是等腰三角形
∵点是的中点，
∴.
∴是直角三角形、
∵是的中点，
∴
.
同理可得
.
∴.
②解:∵，
，
∴
，
.
∵
，
∴同理可得
.
∴.
由①可知，
，
，
∴，
.
∴
.
.
∴
.
∴
.
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