Question

【题目】如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、．

（1）求的长；

（2）请补全图形并求折痕的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）补全图形见解析；折痕的长为5或．

【解析】

（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根据勾股定理即可求解；

（2）分点O在AB和AD两类讨论，当点在上时，可得是等边三角形.求得；点点O在AD上时，过点、分别作， ，

垂足分别为、， 连接，.求出，，，根据折叠性质，结合勾股定理，求出，进而求出，利用面积法即可求得．

(1)∵，， ，

∴.

∴.

∴.

（2）如图1所示，当点在上时，

∵， ，

∴.

∵四边形是平行四边形，

∴，， .

∴.

∵将平行四边形折叠，使点与点重合，

∴折痕垂直平分，即，

.

∵折痕与平行四边形的边交于点，

∴点与点重合.

∵，

∴.

∴.

∴.

∵，

∴是等边三角形.

∴.

如图2所示，当点在上时，

过点、分别作， ，

垂足分别为、， 连接，.

∵四边形是平行四边形，，

∴，，

∴，

∵， ，

∴.

∵在中， ，

∴.

∴，

.

∴在中，，

由折叠可知，，.

∴在中，，

即.

∴.

∴，，

∴.

∴四边形为矩形.

∴，

∵，

∴

∴.

综上所述，折痕的长为5或.