Question

6．已知$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$（a，b，c，d＞0），试说明：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ab+cd}$=$\frac{ab+cd}{{b}^{2}+{d}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据比例的性质，可得ab=cd，根据完全平方公式，可得a²d²+b²c²=abcd+abcd，根据等式的性质，可得a²b²+a²d²+b²c²+c²d²=a²b²+abcd+abcd+c²d²，根据因式分解，可得（a²+c²）（b²+d²）=（ab+cd）（ab+cd），根据等式的性质，可得答案．

解答 证明：∵$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$，
∴ad=bc．即ad-bc=0，
∴（ad-bc）²=0．
∴a²d²+b²c²=abcd+abcd．
a²b²+a²d²+b²c²+c²d²=a²b²+abcd+abcd+c²d²，
∴（a²+c²）（b²+d²）=（ab+cd）（ab+cd）
$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ab+cd}$=$\frac{ab+cd}{{b}^{2}+{d}^{2}}$．

点评 本题考查了比例的性质，利用完全平方公式得出a²d²+b²c²=abcd+abcd，再利用因式分解得出（a²+c²）（b²+d²）=（ab+cd）（ab+cd）是解题关键．