Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝ax＋b的图象与二次函数

y＝ax²＋bx的图象交于点A、B．其中a、b均为非零实数．

（1）当a＝b＝1时，求AB的长；

（2）当a＞0时，请用含a、b的代数式表示△AOB的面积；

（3）当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点B作x轴的垂线，垂足为B′．若二次函数y＝ax²＋bx的图象的顶点在反比例函数y＝的图象上，请用含a的代数式表示△BB′A的面积．

Answer 1

解：（1）当a＝b＝1时，一次函数为y＝x＋1，二次函数为y＝x²＋x．

由x＋1＝x²＋x，解得x₁＝1，x₂＝－1，可得 y₁＝2，y₂＝－0．

∴点A，B的坐标为（1，2）或（－1，0）．

∴AB＝＝2．                                                 

（2）由ax＋b＝ax²＋bx得ax²＋(b－a)x－b＝0，解得：x₁＝－，x₂＝1．

不妨设A（－，0），B（1，a＋b）．

当b＞0时，S_△AOB＝×(a＋b)＝；

当b＝0时，△AOB不存在．

当－a＜b＜0时，S_△AOB＝×(a＋b)＝－；

当b＝－a时，△AOB不存在．

当b＜－a时，S_△AOB＝×(－a－b)＝；                       

（3）y＝ax²＋bx＝a²－ ，抛物线的顶点坐标为：．     

∵抛物线的顶点在双曲线y＝上，∴－＝，即－b³＝－8a³．

∴b＝2a．

∴A（－2，0），B（1，3a），∴AB′＝3， BB′＝．

∴S_△ABB′＝ AB′·BB′．

当a＞0时, S_△ABB′＝ AB′·BB′＝．

当a＜0时,S_△ABB′＝ AB′·BB′＝－．