Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(，3)在反比例函数C：y=(x>0)上，点P是反比例函数C：y=(x>0)上-动点，连接AP，点M在x轴上，且满足MP⊥AP，垂足为P．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P(2，n)，求PM所在直线的解析式；

(3)PB⊥x轴，B为垂足，CA⊥y轴，BP的延长线交AC于点C，当△AMP与△APC相似时，请写出∠AMP与∠BMP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）y=x﹣；（3）∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°，理由见解析．

【解析】

（1）k=×3=2，故反比例函数的解析式为：y=；

（2）先求出点P的坐标，然后得到点C的坐标，再证明△APC∽△PMB，得到点M的坐标，根据待定系数法，即可求出直线的解析式.

（3）根据相似三角形的性质，分成两种情况进行讨论，即可得到答案.

解：（1）∵k=×3=2，

∴反比例函数的解析式为：y=；

(2)∵P（2，n）在反比例函数C：y=(x>0)的图象上，

∴n=1，

∴P(2，1)．

∵PB⊥x轴，MP⊥AP，CA⊥y轴，

∴C(2，3)，∠C=∠APM=∠MBP=90°，

∴∠APC＋∠MPB=90°，∠PMB＋∠MPB=90°

∴∠APC=∠PMB，

∴△APC∽△PMB

∴=，

∴MB=，M(，0)

设PM所在直线的解析式为：y=kx十b，

将P(2，1)，M(，0)代入得，

，

解得：，

∴y=x﹣；

(3)当△AMP与△APC相似时，又∵△APC∽△PMB，

∴△АМР与△PMB相似，

∴∠AMP=∠BMP或∠AMP=∠PBM，

∴∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°．