Question

【题目】如图，是的直径，弦于，为上一点，连接交于，在的延长线上取一点，使，的延长线交的延长线于．

（1）求证：是的切线；

（2）连接，若时．

①求证：；

②若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②

【解析】

（1）连接OG，由EG=EK知∠KGE=∠GKE=∠AKH，结合OA=OG知∠OGA=∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG=90°，从而得出∠KGE+∠OGA=90°，据此即可得证；
（2）①由AC∥EF知∠E=∠C=∠AGD，结合∠DKG=∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；

②连接OG,由，设 可得，利用 得 即可知 CH 再设半径为R, 由 可求得 根据 知 从而得出答案.

（1）如图，连接．∵，

∴，

又，∴，

∵，∴，

∴，

∴是的切线．

（2）①∵，∴，

又，∴，

又，

∴．

②连接，如图所示．∵，，

设，∴，，则

，，∴，∴．

在中，根据勾股定理得，

即，，，，则，

设半径为，在中，，，，

由勾股定理得：，，∴

在中，，∴，

∴