Question

【题目】在平面内，给定不在同一条直线上的点（如图所示），点到点的距离均等于(为常数)，到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接．

（1）求证：；

（2）过点作，垂足为，作，垂足为，延长交图形于点，连接．若，求直线与图形的公共点个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直线与图形的公共点个数为1

【解析】

（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；（2）由证明CD=CM可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．

（1）证明：∵到点的距离等于的所有点组成图形，

∴图形为的外接圆，

∵平分，

∴，

∴，

∴；

（2）如图，

∵，，

∴，

∵，

∴垂直平分，

∴为的直径，

∴,

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴为的切线，

∴直线与图形的公共点个数为1．