Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=5，由旋转的性质可知AD=A′D，设AD=A′D=BE=x，则DE=5-2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积．

解答 解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=5-2x，
∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，
∴△A′DE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{A'D}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{5-2x}{x}$=$\frac{4}{3}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴S_△A′DE=$\frac{1}{2}$DE×A′D=$\frac{1}{2}$×（5-2×$\frac{3}{2}$）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．