Question

5．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=90°，CA=CB，连接BO交⊙O于点D，连接AD，则tan∠ADO的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 3-$\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AC于E，根据平行线的性质得：∠ODE=∠OBC，由等角的三角函数列式得：tan∠ODE=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，设OE=x，DE=2x，则OD=OA=$\sqrt{5}$x，表示AE=（1+$\sqrt{5}$）x，由半径相等和等边对等角可得结论．

解答 解：过点D作DE⊥AC于E，
∵AC=BC=2OB，
∵∠ACB=∠DEO=90°，
∴BC∥DE，
∴∠ODE=∠OBC，
∴tan∠ODE=tan∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
设OE=x，DE=2x，则OD=OA=$\sqrt{5}$x，
∴AE=OA+OE=（1+$\sqrt{5}$）x，
∵OD=OA，
∴tan∠ADO=tan∠DOA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{2x}{（1+\sqrt{5}）x}$=$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故选A．

点评 本题考查了圆周角定理、三角函数，能做出辅助线，得DE=2OE是关键．