Question

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．

(1)如图，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r²

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以如图点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ． 　　∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°．∴∠QFD＋∠Q＝90°． 　　∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°． 　　∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P． 　　∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF． 　　∴．∴OE·OP＝OF2＝r2． 　　(2)解：(1)中的结论成立． 　　理由：如图，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM． 　　∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°． 　　∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°． 　　∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E． 　　∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE． 　　∴，∴OE·OP＝OF2＝r2． 　　思路分析：(1)要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明．观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形，这样问题便转化为证明△FOE∽△POF了．而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不惟一；(2)同(1)类似． 　　方法规律：此题综合考查圆的性质及相似的知识，解题关键是辅助线的灵活添加．值得注意的是(2)问是(1)知识的变式，能开拓视野，提高思维深度、灵敏性，其证明同(1)类似，可不必证明．