Question

如图，在平面直角坐标系中，A（

25

2

，0），∠OBA=90°．BC∥AD，OB=10，点E从B出发，以每秒

15

2

个单位长度沿射线BC的方向运动．点F从点O出发，以每秒

5

2

个单位长度沿线段OB向点B运动，现点E、F同时出发，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动．
（1）连接EF并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是平行四边形？并求出此时平行四边形的面积．
（2）动点E、F是否会在某个反比例函数图象上？如果会，请求出这时动点E、F运动的时间t的值，并求出该反比例函数的表达式；如果不会，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设E点运动到t秒时，四边形ABED是平行四边形，过点B作BH⊥OA于H，如图1，易证△OHB∽△OBA，从而可求出OH、BH的值，易证△BFE∽△OHB，根据相似三角形的性质可求出t的值，也就可求出平行四边形的面积；
（2）过点F作FG⊥OA于G，如图2，易证△OGF∽△OHB，根据相似三角形的性质可用t表示出点F的坐标，然后只需求出点E的坐标（用t表示），再运用待定系数法就可解决问题．

解答：解：（1）设E点运动到t秒时，四边形ABED是平行四边形，过点B作BH⊥OA于H，如图1，
则有BE=

15

2

t，OF=

5

2

t，BF=10-

5

2

t，BE∥AD，DE∥AB，∠OHB=90°．
∵∠OBA=90°，
∴∠OHB=∠OBA．
又∵∠BOH=∠AOB，
∴△OHB∽△OBA，
∴

OB

OA

=

OH

OB

，
∴OB²=OH•OA．
∵A（

25

2

，0）即OA=

25

2

，OB=10，
∴100=

25

2

OH，
∴OH=8，
∴BH=

OB2-OH2

=6．
∵DE∥AB，∠OBA=90°，
∴∠EFB=∠OBA=90°．
∵BE∥AD，
∴∠EBO=∠BOA，
∴△BFE∽△OHB，
∴

BF

OH

=

BE

OB

，
∴

10- 5 2 t

8

=

15 2 t

10

，
解得：t=

20

17

，
∴EB=

15

2

×

20

17

=

150

17

，
∴S_?ABED=

150

17

×6=

900

17

，
∴E点运动

20

17

秒时，四边形ABED是平行四边形，此时该平行四边形的面积为

900

17

．

（2）过点F作FG⊥OA于G，如图2，
则有FG∥BH，
∴△OGF∽△OHB，
∴

OG

OH

=

GF

HB

=

OF

OB

，
∴

OG

8

=

GF

6

=

5 2 t

10

，
∴OG=2t，GF=

3t

2

，
∴点F（2t，

3

2

t）．
∵BC=OH=8，BE=

15

2

t，
∴CE=8-

15

2

t，
∴点E（8-

15

2

t，6）．
若点E、F都在反比例函数y=

k

x

上，
则有k=6（8-

15

2

t）=2t×

3

2

t，
解得：

k=768 t=-16

（舍去），

k=3 t=1

，
∴当动点E、F运动的时间为1秒时，点E、F都在反比例函数y=

3

x

的图象上．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、运用待定系数法求反比例函数的解析式等知识，求出点E、F的坐标（用t表示）是解决第（2）小题的关键．