题目内容
如图，在平面直角坐标系中，以点M（| 3 |
| 3 |
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若⊙M的切线交x轴正半轴于点P，交y轴负半轴于点Q，切点为N，且∠OPQ=30°，试判断直线PQ是否经过抛物线的顶点？说明理由；
（3）点K是⊙M位于y轴右侧上的一动点，连结KB交y轴于点H，问是否存在一个常数k．始终满足BH•BK=k？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）易求得A（3
，0），B（-
，0），C（0，-3）．把它们的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
由（1）中的函数解析式转化为顶点式解析式，直接写出该抛物线的顶点坐标（
，-2），然后通过解直角△MNG求得MG的长度，若MG=2，则说明该切线经过抛物线的顶点，反之，该切线不经过该抛物线的顶点；
（3）存在．如图，连接AK．构建相似三角形：△BOH∽△BKA，所以根据相似三角形的对应边成比例来求k的值．
| 3 |
| 3 |
（2）如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
由（1）中的函数解析式转化为顶点式解析式，直接写出该抛物线的顶点坐标（
| 3 |
（3）存在．如图，连接AK．构建相似三角形：△BOH∽△BKA，所以根据相似三角形的对应边成比例来求k的值．
解答：
解：（1）如图，连接MC．
∵M（
，0），BM=AM=MC=2
，
∴OC=
=3，
∴A（3
，0），B（-
，0），C（0，-3）．则
，
解得，
，
∴该抛物线的解析式为：y=
x2-
x-3；
（2）直线PQ经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y=
x2-
x-3，即y=
(x-
)2-4，则其顶点坐标是（
，-4）．
如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
∵PQ是⊙M的切线，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2
∴MG=
=4，则G（
，-4），即点G是抛物线的顶点坐标，
∴直线PQ经过抛物线的顶点；
（3）存在，理由如下：
如图，连接AK．
∵AB是直径，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴
=
，则BH•BK=BO•BA=
×4
=12，即k=12．
解：（1）如图，连接MC．∵M（
| 3 |
| 3 |
∴OC=
| MC2-OM2 |
∴A（3
| 3 |
| 3 |
|
解得，
|
∴该抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）直线PQ经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
∵PQ是⊙M的切线，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2
| 3 |
∴MG=
| MN |
| cos30° |
| 3 |
∴直线PQ经过抛物线的顶点；
（3）存在，理由如下：
如图，连接AK．
∵AB是直径，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴
| BH |
| BA |
| BO |
| BK |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
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