Question

10．已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P点，D、E分别在线段BA、BC上．若∠B=60°，且AD=BE，BD=CE．
（1）求证△ABC是等边三角形
（2）判断△AEC≌△BCD吗？若全等请说明理由．
（3）求∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）利用等式的性质得出AB=BC，即可得出结论；
（2）由（1）知△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质就可以得出△CBD≌△ACE
（3）由（2）△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；

解答 解：（1）如图，连结AC，
∵AD=BE，BD=CE，
∴AD+BD=BE+CE，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形．
（2）△AEC≌△BCD，
理由：由（1）知，△ABC为等边三角形．
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
在△CBD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠B=∠ACB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
（3）由（2）知，△CBD≌△ACE
∴∠BCD=∠CAE．
∵∠APD=∠CAE+∠ACD，
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．