Question

14．如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点多的四边形EFGH是矩形，则称原四边形ABCD为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中母矩形”．
（1）如图2，在直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（1，4），C（4，6），请在格点上标出D点的位置（只标一点即可），使四边形ABCD是中母矩形．并写出点D的坐标．
（2）如图3，以△ABC的边AB，AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE，BG相交于点O，试判断四边形BEGC是中母矩形？说明理由．
（3）如图4，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，E是斜边AC的中点，F是直角边AB的中点，P是直角边BC上一动点，试探究：当P在BC边上什么位置时，四边形BPEF是中母矩形？

Answer 1

分析 （1）根据中母矩形的定义进而得出当BD∥x轴时，D在线段AC右侧即可；
（2）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△EAC≌△GAB（SAS），进而得出EC⊥BG，得出答案即可；
（3）利用中母矩形的定义结合相似三角形的性质与判定得出BP的长即可．

解答 解：（1）如图2所示：点D即为所求，D（6，4）；

（2）如图3，∵正方形ABDE及ACFG，
∴∠EAB=∠GAC=90°，AG=AC，AE=AB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠GAB=∠GAC+∠BAC，
在△EAC和△GAB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{GA=AC}\\{∠EAC=∠GAB}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△GAB（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
∴∠AEC+∠AHE=∠ABG+∠BHO=90°，
∴EC⊥BG，
∴四边形BEGC是中母矩形；

（3）如图4，
当△BFE∽△PBF时，则∠FPB=∠FBE，
∵∠BFP+∠BPF=90°，
∴∠EBF+∠BFP=90°，
∴FP⊥BE，
即此时$\frac{EF}{BF}$=$\frac{BF}{BP}$，
∵AB=8，BC=6，E是斜边AC的中点，F是直角边AB的中点，
∴BF=4，EF=3，
∴BP=$\frac{16}{3}$，
即当P在BC边上，BP=$\frac{16}{3}$时，四边形BPEF是中母矩形．

点评 此题主要考查了四边形综合以及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确把握中母矩形的定义是解题关键．