Question

2．一公司生产某商品每件成本为20元，经调研发现，该商品在未来40天内的当天销售量m（件）与时间第t（天）满足关系式m=-2t+96；未来40天内，前20天当天的价格y₁（元/件）与时间第t（天）的函数式为y₁=0.25t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天当天的价格y₂（元/件）与时间第t（天）的函数式为y₂=-0.5t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）求日销售利润W（元）与时间第t（天）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请预测未来40天中第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578 元．
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜5）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间第t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得W与t的函数关系式，写出自变量的取值范围，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的函数解析式可以分别求得函数的最大值，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以写出W与t和a的关系式，根据二次函数的性质可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
当1≤t≤20且t为整数时，W=（0.25t+25-20）（-2t+96）=-0.5t²+14t+480，
当21≤t≤40且t为整数时，W=（-0.5t+40-20）（-2t+96）=t²-88t+1920，
即日销售利润W（元）与时间第t（天）的函数关系式是：W=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{t}^{2}+14t+480}&{1≤t≤20且t是整数}\\{{t}^{2}-88t+1920}&{21≤t≤40且t是整数}\end{array}\right.$；
（2）当1≤t≤20且t为整数时，W=-0.5t²+14t+480=-0.5（t-14）²+578，
∴t=14时，W取得最大值，此时W=578，
当21≤t≤40且t为整数时，W=t²-88t+1920=（t-44）²-16，
∴t=21时，取得最大值，此时W=513，
由上可得，第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578元，
故答案为：14，578；
（3）由题意可得，
W=（0.25t+25-20-a）（-2t+96）=-0.5（t-14-2a）²+2（a-17）²，
对称轴为t=14+2a，
∵前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间第t（天）的增大而增大，
∴14+2a≥20，
解得，a≥3，
又∵a＜5，
∴3≤a＜5，
即a的取值范围是3≤a＜5．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数关系式．