Question

15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，请你添加适当的条件并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，得出AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）由等腰直角三角形的性质得出AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BC
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDB}&{\;}\\{∠AFE=∠EBD}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．