Question

10．已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．
（1）求对角线BD的长；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．

解答 解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵BD平分∠ABC，∠A=60°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∴∠ADB=90°．
∵AD=2，
∴AB=2AD=4．
∴BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$．
（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．
∵DC∥AB，BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．
∵BC=2，
∴DC=BC=2．
在RT△ADH和RT△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}DH=CG\\ AD=BC\end{array}\right.$，
∴RT△ADH≌RT△BCG．
∴AH=BG．
∵∠A=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=1，DH=$\sqrt{3}$．
∵DC=HG=2，
∴AB=4．
∴${S_{梯形ABCD}}=\frac{1}{2}（2+4）•\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．