Question

已知，在⊙O中，

AB

+

CD

=

BC

+

DA

，AB=10，CD=6，两个弓形面积之和为x，求x的值．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,勾股定理,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：如图，连接OA、OB、OC、OD．将∠COD逆时针旋转移动到C与OB重合，点A、O、D′就在一条线上，就是圆的一条直径．△BAD′是直角三角形．则阴影部分的面积=半圆的面积-直角△ABD′的面积．

解答：解：如图，连接OA、OB、OC、OD．
∵在⊙O中，

AB

+

CD

=

BC

+

DA

，
∴∠AOB+∠COD=180°
∴将∠COD逆时针旋转移动到C与OB重合，点A、O、D′就在一条线上，就是圆的一条直径．△BAD′是直角三角形．
∵AB=8，CD=BD′=6，
∴由勾股弦定理可知：直径AD'=10．
则图中两个弓形（阴影）的面积和为：
x=

180π×52

2

-

1

2

×8×6=12.5π-24．即x=12.5π-24．

点评：本题综合考查了扇形面积的计算，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理以及勾股定理．利用旋转的性质将不规则图形是面积转化为规则图形的面积是解题的技巧所在．