Question

在平面直角坐标系xOy中，点B（0，3），点C是x轴正半轴上一点，连接BC，过点C作直线CP∥y轴．
（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；
（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，根据等腰直角三角形的性质及矩形的性质可以证明△ODG≌△EDH，就有△DGC是等腰直角三角形，就可以求出∠DCG=45°，可以求出∠OBC=∠OCB，得出OB=OC而得出结论
（2）分两种情况：当∠DOE=60°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H和当∠DOE=30°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H．利用三角形相似的性质和三角函数值的运用就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，
∴∠OGD=∠EHD=90°．
∵△ODE是等腰直角三角形，
∴OD=DE，∠ODE=90°．
∵CP∥y轴，
∴四边形DGCH是矩形，
∴∠GDH=90°，DH=GC，
∴∠ODG+∠GDE=∠EDH+∠GDE=90°，
∴∠ODG=∠EDH，
∵在△ODG和△EDH中，

∠ODG=∠EDH ∠OGD=∠EHD OD=DE

，
∴△ODG≌△EDH（AAS），
∴DG=DH．
∴DG=GC，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG=45°，
∴∠OBC=45°，
∴OB=OC．
∵B（0，3），
∴OB=3
∴OC=3，
∴点C的坐标为（3，0）；

（2）分两种情况：
①如图2，当∠DOE=60°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，
∴∠OGD=∠EHD=90°，
∵△ODE是直角三角形，
∴tan∠DEO=

OD

DE

=

3

3

，∠ODE=90°，
∵CP∥y轴，
∴四边形DGCH是矩形，
∴∠GDH=90°，DH=GC．
∴∠ODG+∠GDE=∠EDH+∠GDE=90°，
∴∠ODG=∠EDH，
∴△ODG∽△EDH，
∴

DG

DH

=

OD

DE

=

3

3

．
∴

DG

GC

=

3

3

，
∴tan∠DCG=

DG

GC

=

3

3

，
∴∠DCG=30°，
∴tan∠DCG=

OB

OC

=

3

3

，
∴OC=3

3

，
∴C（3

3

，0）；
②如图3，当∠DOE=30°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，
∴∠OGD=∠EHD=90°．
∵△ODE是直角三角形，
∴tan∠DEO=

OD

DE

=

3

，∠ODE=90°．
∵CP∥y轴，
∴四边形DGCH是矩形，
∴∠GDH=90°，DH=GC．
∴∠ODG+∠GDE=∠EDH+∠GDE=90°，
∴∠ODG=∠EDH，
∴△ODG∽△EDH，
∴

DG

DH

=

OD

DE

=

3

，
∴

DG

GC

=

3

，
∴tan∠DCG=

DG

GC

=

3

，
∴∠DCG=30°，
∴tan∠DCG=

OB

OC

=

3

，
∴OC=

3

．
③如图4，当∠DOE=60°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，
∴∠OGD=∠EHD=90°，
∵△ODE是直角三角形，
∴tan∠DEO=

OD

DE

=

3

3

，∠ODE=90°，
∵CP∥y轴，
∴四边形DGCH是矩形，
∴∠GDH=90°，DH=GC．
∴∠ODG+∠GDE=∠EDH+∠GDE=90°，
∴∠ODG=∠EDH，
∴△ODG∽△EDH，
∴

DG

DH

=

OD

DE

=

3

3

．
∴

DG

GC

=

3

3

，
∴tan∠DCG=

DG

GC

=

3

3

，
∴∠DCG=30°，
∴tan∠DCG=

OB

OC

=

3

3

，
∴OC=3

3

，
∴C（3

3

，0）；
④如图5，当∠DOE=30°时，过点D分别作DG⊥x轴于G，DH⊥PC于H，
∴∠OGD=∠EHD=90°．
∵△ODE是直角三角形，
∴tan∠DEO=

OD

DE

=

3

，∠ODE=90°．
∵CP∥y轴，
∴四边形DGCH是矩形，
∴∠GDH=90°，DH=GC．
∴∠ODG+∠GDE=∠EDH+∠GDE=90°，
∴∠ODG=∠EDH，
∴△ODG∽△EDH，
∴

DG

DH

=

OD

DE

=

3

，
∴

DG

GC

=

3

，
∴tan∠DCG=

DG

GC

=

3

，
∴∠DCG=30°，
∴tan∠DCG=

OB

OC

=

3

，
∴OC=

3

．
∴C（

3

，0），
∴点C的坐标为（

3

，0）、（3

3

，0）．

点评：本题是一道相似形的综合试题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，特殊角的三角函数值的运用及相似三角形的判定性质的运用．解答本题时证明三角形全等和相似是关键．