Question

8．抛物线y=-x²+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a=$\frac{3}{2}$时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使$\frac{AP}{PN}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线经过原点b=0，把a=$\frac{3}{2}$、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．
（2）利用△PCB∽△APM，得$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b=0，
∵a=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-x²+6x，
∵x=2时，y=8，
∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），
∴BC=2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，
∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，
∴∠CPB=∠PAM，
∵∠PBC=∠PMA=90°，
∴△PCB∽△APM，
∴$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$，
∴$\frac{6a-4}{4a-2}$=$\frac{4a-4}{2a}$，
整理得a²-4a+2=0，解得a=2±$\sqrt{2}$，
∵a＞1，
∴a=2+$\sqrt{2}$．

（3）∵△APM∽△ANO，
∴$\frac{AP}{PN}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{1}{2}$，
∵AM=4a-2，OM=2，
∴$\frac{4a-2}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．