Question

【题目】如图矩形ABCD中AB=6，AD=4，点P为AB上一点，把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠，使D点落在BC边上的D′处，直线l与CD边交于Q点．

（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法和理由）

（2）若PD′⊥PD，①求线段AP的长度；②求sin∠QD′D．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD==2，CD′==2，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，过P作DD′的垂线交CD于Q，

则直线PQ即为所求；

（2）由（1）知，PD=PD′，

∵PD′⊥PD，

∴∠DPD′=90°，

∵∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，

∴∠ADP=∠BPD′，

在△ADP与△BPD′中，，

∴△ADP≌△BPD′，

∴AD=PB=4，

∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，

∴AP=2；

∴PD==2，

∵PD=PD′，PD⊥PD′，

∵DD′=PD=2，

∴CD′==2，

∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=．