Question

【题目】如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3；D（1，）；（2）P（3，）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；

（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-m2+m+3），则F（m，-m+3），表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，

解得：a=﹣，

y=﹣x2+x+3=﹣（x﹣1）2+，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3，且顶点D（1，）；

（2）∵B（4，0），C（0，3），

∴BC的解析式为：y=﹣x+3，

∵D（1，），

当x=1时，y=﹣+3=，

∴E（1，），

∴DE=-=，

设P（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），

∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，

∴DE=FP，

即（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=，

解得：m1=1（舍），m2=3，

∴P（3，）．