Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．

(1)求直线BC的解析式．

(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．

①求四边形PBAC面积的最大值，并求四边形PBAC面积的最大时P点的坐标；

②如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)x2﹣x﹣4，；(2)①16；②点Q的坐标为(2，0)或(6，0)

【解析】

（1）先根据题意确定点A、B、C的坐标，然后用待定系数法即可解答；

（2）①过P作x轴的垂线交直线BC于点N,连接PC,PB．设P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．再用x表示出PN的长度，然后根据二次函数性质求出PN的最大值，进而求得的最大值，最后再加上即可解答；②以BC为平行四边形的一边和以BC为平行四边形的对角线两种情况讨论，利用平移和中点公式进行求解即可．

解：(1)由点A、B、C在抛物线yx2﹣x﹣4的函数图像上

令y=0，则x=4或﹣2，即点A、B的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0);

令x=0时，y=-4,即C点坐标(0，-4)．

由待定系数法可得直线BC的解析式为：y=x-4．

(2)

①如图，过P作x轴的垂线交直线BC于点N,连接PC,PB．

设P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．

∴PN=x-4-(x2﹣x﹣4)=-x2+2x=-（x-2）2-2

∴当x=2时，PN有最大值为2．此时P坐标为(2，-4)．

∴=PN·OB=×2×4=4

∴四边形PBAC面积最大值==12+4=16

② 第一种情况：当BC是平行四边形的一条边时，

如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，

设：点P(n，n2﹣n﹣4)，点Q(m，0)，

则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，

即：n+4=m，n2﹣n﹣4+4=0，

解得：m=4或6(舍去4)，

即点Q(6，0)；

第二种情况：当BC是平行四边形的对角线时，

设点P(m，n)、点Q(s，0)，其中nm2﹣m﹣4，

由中点公式可得：m+s=﹣2，n+0=4，

解得：s=2或4(舍去4)，

故点Q(2，0)；

故点Q的坐标为(2，0)或(6，0)；