Question

16．已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

Answer 1

分析 由已知条件变形得到a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的两根，再利用判别式的意义得到c²-4×1×$\frac{16}{c}$≥0，然后解此不等式即可．

解答 解：∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，
把a、b看作方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的两根，
∵△=c²-4×1×$\frac{16}{c}$≥0，
∴c³≥64，
∴c≥4．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判别式的意义．