Question

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），C点的坐标为（8，0）．点P是直线BC在第一象限上的一点，O是原点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）如图，过点P作PD⊥x轴于点D．根据一次函数图象上点的坐标特征得到点P的坐标为（x，-

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x+4），则PD=|y|=|-

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x+4|=-

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x+4；然后根据三角形的面积公式列出S关于x的关系式；
（3）存在点P，使PO=PA．利用假设法进行证明：假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D．根据等腰三角形“三线合一”的性质求得OD=AD=2，即点P的横坐标为2，则把点P的横坐标代入直线BC的解析式，求得点P的纵坐标，根据点P的坐标来证得结论．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．则依题意得

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
所以直线BC的解析式为y=-

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x+4；

（2）如图，过点P作PD⊥x轴于点D．
∵点P是直线y=-

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x+4在第一象限上的一点，且坐标为（x，y），
∴PD=|y|=|-

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x+4|=-

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x+4．
∵A点的坐标为（4，0），
∴OA=4，
∴△OPA的面积为：S=

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OA×PD=

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×4×(-

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x+4)=-x+8(0＜x＜8)；

（3）存在点P，使PO=PA．理由如下：
假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D．
当PO=PA时，则OD=AD=

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OA=2，
又点P是直线y=-

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x+4在第一象限上的一点，
∴PD=-

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×2+4=3．
∴在第一象限存在1个点P（2，3），使OP=AP．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，点的坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征．本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础．