在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在直线BC上.且DE=EC(1)特殊情况.探索结论当点E为AB的中点时.如图1.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论:AE=DB．(2)特例启发.解答题目解:题目中.AE与DB的大小关系是:AE=DB．理由如下:如图2.过点E作EF∥BC.交AC于点F．(3)拓展结论.设计新题若△ABC的边长为10.AE=2.求CD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且DE=EC

（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你补充完成解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
若△ABC的边长为10，AE=2，求CD的长．

分析（1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=30°，再证出∠BED=∠D，得出BE=DB，即可得出AE=DB；
（2）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∠DBE=120°，再证出△AEF是等边三角形，得出AE=EF，BE=CF，证出∠FEC=∠D，证明△EFC≌△DBE，得出EF=DB，即可得出AE=DB．
（3）由（2）可知AE=DB=2，因为BC=10，即可求得CD=12或8．

解答解：（1）AE=DB；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°=∠D，
∴BE=DB，
∴AE=DB；
故答案为：=；
（2）AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠DBE=120°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠DCE，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠FEC=∠D，
在△EFC和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠DBE=120°}\\{∠FEC=∠D}\\{CF=BD}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
故答案为：=．
（3）∵△ABC的边长为10，AE=2，
∴BC=10，
由（2）可知AE=DB，
∴DB=2，
∴当E在线段AB上时，CD=DB+BC=2+10=12；
当E在射线BA上时，CD=BC-DB=10-2=8．