Question

11．如图，一次函数y=-x-1与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A，一次函数y=-x-1与坐标轴分别交于B、C两点，连结AO，若tan∠AOB=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）延长AO交双曲线于点D，连接CD，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数图象上，设出点A的坐标，再根据正切的定义结合tan∠AOB=$\frac{1}{2}$可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解；
（2）根据对称性结合点A的坐标可得出点D的坐标，令一次函数中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，由C、D的坐标可得出线段CD∥x轴以及线段CD的长度，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A在一次函数y=-x-1的图象上，
∴设点A的坐标为（n，-n-1）（n＜0）．
∵tan∠AOB=$\frac{-n-1}{-n}$=$\frac{1}{2}$，
解得：n=-2，
∴点A的坐标为（-2，1），
∴m=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．
（2）∵点A的坐标为（-2，1），
∴点D的坐标为（2，-1）．
令一次函数y=-x-1中x=0，则y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1）．
∴线段CD与x轴平行，CD=2-0=2，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•（y_A-y_C）=$\frac{1}{2}$×2×[1-（-1）]=2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点C的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，依据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．