Question

18．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AB=3，BC=4，点D为$\widehat{BC}$的中点，连结AD与BC相交于点E，则DE：AE等于（　　）

• A． 3：4
• B． 1：3
• C． 2：3
• D． 2：5

Answer 1

分析 根据垂径定理得到OD⊥BC，CM=$\frac{1}{2}$BC=2，推出△ABE∽△DME，得到比例式，代入数值即可得到结果．

解答 解：连接OD交BC于M，
∵点D为$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，CM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴∠DME=∠B=90°，
∵∠AEB=∠DEM，
∴△ABE∽△DME，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DM}$，
∵Rt△ABC内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴OC=OD=$\frac{5}{2}$，
∴（OD-DM）²+CM²=OC²，
即（$\frac{5}{2}$-DM）²+2²=（$\frac{5}{2}$）²，
∴DM=1，DM=4（不合题意舍去），
∴DE：AE=DM：AB=1：3．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．