Question

已知：关于x的方程x²+（8－4m）x+4m²=0．

    （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时的根．

    （2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有（8－4m）²－16m²=0，解得m=1．

当m=1时，原方程为x²+4x+4=0，x₁=x₂=－2．

　 （2）不存在．假设存在，则有x₁²+x₂²=136．

　 ∵x₁+x₂=4m－8，x₁x₂=4m²，

　 （x₁+x₂）²－2x₁x₂=136．

　 （4m－8）²－2×4m²=136．

　 m²－8m－9=0．

　 （m－9）（m+1）=0．

　 m₁=9，m₂=－1．

　 ∵△=（8－4m）²－16m²=64－64m≥0，

　 ∴m≤1，m₁=9，m₂=－1都不符合题意，

　 ∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．

　 点拨：根据b²－4ac=0，再求m值．