Question

4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4$\sqrt{2}$cm，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿AB运动，点Q以$\sqrt{2}$cm/s的速度沿折线AC-CB运动．当点P到达B时，P，Q停止运动，设运动时间为t秒．则当t=2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$秒时，△APQ的面积为4cm²．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质结合点P、Q的速度可得出AB=8、PQ⊥AB，设当时间为t秒时，△APQ的面积为4cm²，分0≤t≤4和4＜t≤8两种情况找出AP、PQ的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4$\sqrt{2}$cm，
∴AB=8，∠A=45°，∠B=45°．
∵点P以1cm/s的速度沿AB运动，点Q以$\sqrt{2}$cm/s的速度沿折线AC-CB运动，
∴PQ⊥AB．
设当时间为t秒时，△APQ的面积为4cm²，
当0≤t≤4时，AP=t，PQ=t，
$\frac{1}{2}$AP•PQ=4，即$\frac{1}{2}$t²=4，
解得：t=2$\sqrt{2}$或t=-2$\sqrt{2}$（舍去）；
当4＜t≤8时，AP=t，PQ=8-t，
$\frac{1}{2}$AP•PQ=4，即$\frac{1}{2}$t（8-t）=4，
解得：t=4+2$\sqrt{2}$或t=4-2$\sqrt{2}$（舍去）．
综上所述：当t=2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$秒时，△APQ的面积为4cm²．
故答案为：2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程的应用以及等腰直角三角形，分0≤t≤4和4＜t≤8两种情况列出关于t的一元二次方程是解题的关键．