Question

【题目】如图，直线交轴于点A，交轴于点B,抛物线经过点A，交轴于点，点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作于D，连接AP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；

（3）将绕点A旋转，当点O的对应点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时三角形相似；（3）点的坐标为或．

【解析】

（1）先求出A，B的坐标，然后根据抛物线经过点A，C，解出a，c的值，即可求出抛物线解析式；

（2）分①当时和②当时两种情况讨论即可；

（3）先将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的对称轴为：x=-1，根据，得出AO=3，BO=，然后设O（-1，m），解出m值，分①当O（-1，）时和②当O（-1，-）时两种情况讨论即可．

（1）∵直线交轴于A，B，

，

∵抛物线经过点A，C，

∴，

解得，

∴抛物线解析式为；

（2）①当时，点P为抛物线与x轴的交点，

令，

解得（舍去）

∴点P的坐标为；

②当时，，

，

过点B作，且使得，则P点必在直线AE与抛物线的交点上，

做轴于点F，

，

，

，

，

，

，

设直线AE的解析式为

则，

解得，

∴直线AE的解析式为，

解方程组

解得，，

∴点P的坐标为，

∴当或（1，0）时三角形相似；

（3）由题抛物线的解析式为，

∴抛物线的对称轴为：x=-1，

∵，

∴AO=3，BO=，

∴设O（-1，m），

则有AO==AO=3，

解得：m=或m=，

①当O（-1，）时，

设AO的解析式为：y=ax+b，

将A（-3，0），O（-1，）代入得，

解得，

∴AO的解析式为：y=x+，

∵BO⊥AO，

∴可设BO的解析式为：y=x+b1，

将O（-1，）代入得=×（-1）+b1，

解得b1=，

∴BO的解析式为：y=x+，

设B的坐标为（x，x+），

则BO==BO=，

解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此时的情况，舍去)，

将x1代入x+=1+，

∴B的坐标为（-1-，1+）；

②当O（-1，-）时，

同理可得B的坐标为（-1+，1-）；

综上：点的坐标为或．