Question

【题目】综合与探究如图，在正方形中，点在边所在的直线上运动但不与点重合，点在线段．上运动，过点的直线，分别交于点．

观察探究：（1）如图1，当点在边上时，判断并说明与的数量关系；

探究发现：（2）勤奋小组在图1的基础上得到图2，点为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点，连接，此时， ，请利用图2证明；

探究拓展：（3）如图3，缜密小组在勤奋小组的启发下，当点在点右侧时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点，他们发现线段与之间存在数量关系，线段与之间也存在数量关系，请你直接写出．

Answer 1

【答案】（1）AE=MN，理由见解析；（2）见解析；（3）与的数量关系是：，与的数量关系是：

【解析】

（1）过点作交 于点，构建平行四边形PMND，再证明△ABE≌△DAP，即可得出结论；
（2）连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG=EG=CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE=90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=AE，FG=AE，则BF=FG；
（3）AE=MN,证明△AEB≌ONMQ; BF=FG，同理得出BF和FG分别是直角△AEB和直角△AGE斜边.上的中线，则BF=AE，FG=AE，所以BF=FG．

解：（1）

理由如下：如答图 1，过点作交 于点，则

四边形是正方形，

四边形是平行四边形，

于

又

（2）如答图 2，连接

由正方形的轴对称性得：

于点，点为 中点，

由答图 2 可知

又四边形的内角和为

在和中，为斜边，点 为的中点

（3）AE与MN的数量关系是：AE=MN,理由是：

如图3，过C作CK∥MN交AB于K,

∴∠CKB=∠NMB=∠FMA

又∵正方形ABCD∴AB∥CD，AB=BC, ∠ABC=∠ABE=90°

∴四边形CNMK是平行四边形，∴CK=MN

∵MN⊥EF∴∠FMA+∠MAF=90°

∵∠BEA+∠MAF=90°

∴∠BEA=∠FMA=∠NMB=∠CKB

∴△CBK≌△ABE

∴AE=CK∴AE=MN

与的数量关系是：理由是：

连接CG、AG、EG，

由正方形的轴对称性得：

于点，点为 中点，

在Rt△ABE中，∠AEB+∠EAB=90°,即∠BAE+∠GEA+∠GEB=90°

∴∠BAE+∠GEA+∠GAB=90°∴∠GEA+∠GAE=90°

∵∠GEA+∠GAE+∠EGA=180°

∴∠EGA=90°

在和中，为斜边，点 为的中点