Question

13．如图，已知：在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求：∠ODC和∠BOF的度数．

Answer 1

分析 根据DF平分∠ADC与∠BDF=15°可以计算出∠ODC=60°，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到△OCD是等边三角形，再证明△COF是等腰三角形，求出∠CFO=75°，即可得出∠BOF的度数．

解答 解：∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF．
∵∠BDF=15°，
∴∠ODC=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，∠OCD=∠COD=60°，
∴OC=CF，∠BOC=120°，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠CFO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BOF=∠BOC-∠CFO=120°-75°=45°．

点评 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并判断出△OCD是等边三角形是解决本题的关键．